martes, 2 de noviembre de 2010

Números enteros

Por Lic. Jaime Noé Villaalta Umaña

Prof. y Abg.

Saludo a los matemáticos que visiten esta página; advierto este tema lo he preparado con fines didácticos para estudiantes que inician sus estudios de esta área de los números; se adecua al área básica o elemental; por tanto, si su nivel académico está por encima del contenido, le sugiero nos ayude con cualquier comentario o información.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de una cifra está representado por el símbolo, así por ejemplo en la cantidad 234 el valor absoluto del 2 es dos; del 3 es 3 y del 4 es 4. Es completamente diferente al valor relativo que tiene que ver con el lugar que una cifra ocupa en una determinada cantidad; en el caso del número 234 el valor relativo del 2 es 200; del 3 es 30 y del 4 es 4.

En lo que se refiere a los números enteros, el valor absoluto siempre viene dado al igual que en lo explicado en el caso anterior por la representación simbólica del número de que se trate, haciendo caso omiso del signo; es decir sin tomar en cuenta el signo. Ej. :

¿Cuál es el valor absoluto de?

a) –2 = |2|

b) 4 = |4|

c) –5 = |5|

d) 6 = |6|

e) –7 = |7|

f) –8 = |8|

g) –4 = |4|

h) 8 = |8|

i) –6 = |6|

j) 1 = |1|

Ejercicio: Diga cuál es el valor absoluto

a) – 3 = ______

b) – 9 = ______

c) – 45 = _____

d) 9 = _____

e) 6 = _____

f) 34 = ____

g) 16 = ____

h) – 12 = ____

i) – 14 = ____

j) – 32 = ____

NÚMEROS OPUESTOS

Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y diferente signo. Ej. :

a) –2 = 2

b) – 4 = 4

c) 6 = — 6

d) –5 = 5

e) 7 = - 7

CONCEPTOS MAYOR QUE Y MENOR QUE EN “Z”

Todo número que está a la derecha de otro, es mayor que éste y viceversa si se encuentra a la izquierda es menor.

> Mayor que

< Menor que

a) – 2 > - 3

b) – 4 < - 5

c) 8 < 12

d) – 10 < - 1

e) – 6 < - 5

f) 4 < 5

g) 6 < 7

h) 1 > -6

i) 2 > - 12

j) 6 > - 100

Ejercicio: Utilice > o <

a) – 6 ____ 4

b) 5 _____ - 3

c) 6 ____ -12

d) –6 ____ - 45

e) 0 ___-1

f) 0 ____-8

g) 2 ____ -4

h) – 3 ____ - 5

i) – 2 _____ - 1

j) – 10 ____ 5

k) – 12 ____ - 13

l) – 1 ___ - 6

m) – 34 _____ 1

n) – 2 ____ 1

o) – 9 _____ - 10

SUMA Y RESTA DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS.

I.- SUMA

REGLAS

1.- Al sumar enteros del mismo signo se suman los valores absolutos conservando el mismo signo. Ej. :

a) 8 + 9 + 5= __________

b) –12 + ( - 5) =

c) –10 + ( -6 ) + ( -2 ) =________

d) –12 + ( - 4 ) = __________

e) 3 + 4 + 6 + 7 = _________

f) – 12 + ( - 6 ) + ( -10 ) = ___________

g) – 3 + ( - 2 ) = ___________

h) – 3 + ( - 10 ) = __________

i) – 9 + ( - 8 ) = _________

j) – 10 + ( -12 ) + ( -4 ) + ( -2 )= _______________

2.- Al sumar enteros de diferente signo se escribe el signo del que tienen mayor valor absoluto y se restan dichos valores. (Signos diferentes se restan y conservan el signo del mayor) Ej. :

a) –2 + 5 = 3

b) –3 + 7 + ( -8 )+( -2 ) + 15= ____________

c) –10 + 23 = __________

d) 34 + (- 13 ) + 2 + ( -20 ) = _________

e) –3 + 4 + ( -2 ) = ______________

f) –12 + 10 + 3 + ( -5 ) = _________________

g) 23 + ( - 6 ) + ( -7 ) = ______________

h) – 2 + 10= _________

i)–2 + 5 = _________

k) 12 + ( -9 ) = ______

—Cuando son varios los sumandos se sigue el procedimiento de sumar primero los que tienen valor positivo, luego los negativos y finalmente realizamos la operación obtenida con los resultados anteriores.

RESTA DE ENTEROS

En la resta o sustracción el objetivo es dado la suma o total de dos números y uno de los sumandos hallar el otro sumando.

M – S = D

Donde M es el minuendo; S, el sustraendo y D, la diferencia.

CASO 1.- Dados 24 minuendo y 10 sustraendo, hallar la diferencia. 24 – 10 = 14

En este ejemplo puede verse que:

a) 14 + 10 = 24; es decir, diferencia + sustraendo = minuendo (D + S = D)

b) 24 –14 = 10; es decir, minuendo – diferencia = sustraendo (M – D = S)

CASO 2.- Dados 3 (minuendo) y 8 (sustraendo), hallar la diferencia.

El ejemplo se plantea así: 3 – 8 =

Explicación: Para entender mejor este ejercicio, transformamos la resta en suma y luego recordamos que “cuando se suman dos cantidades con signo diferente, se hace una resta de sus valores absolutos y se escribe el signo de la mayor en valor absoluto”.

3 – 8 = 3 + ( - 8 ) = - 5

Otros ejercicios similares:

a) 2 – 5 = ____

b) 6 – 10 = ____

c) 24 – 36 = ____

d) 4 – 5 = ____

e) 8 – 10 = ____

f) 12 – 14 = ____

g)10 – 15 = ___

h) 13 – 18 = ___

i) 1 – 2 = ___

j) 3 – 7 = ____

k) 3 – 4 = ___

l) 18 – 20 = _____

m) 19 – 21 = ___

n) 30 – 40 = ____

ñ) 5 – 10 = _____

CASO 3.- Dados 8 (minuendo) y — 4 (sustraendo) hallar la diferencia.

Explicación: Obsérvese que aquí se tiene el negativo de — 4 {— (— 4)}ó en otras palabras el opuesto de — 4, es decir 4.

La resta de un positivo y un negativo en ese orden se transforma en suma.

Así:

8 – ( - 4 ) = 8 + 4 = 12

Otros ejemplos en los que se aplica lo anterior.

a) 10 – ( - 6 ) = _____________

b) 12 – ( - 5 ) = _____________

c) 12 – ( - 3 ) = ____________

d) 12 – ( - 8 ) = _______________

e) 5 – ( - 6 ) = ____________

e) 4 – ( - 6 ) = _______________

f) 8 – ( - 2 ) = _____________

g) 6 – ( - 4 ) = _______________

h) 15 – ( -12 ) = _____________

i ) 16 – ( -7 ) = _____________

CASO 4.- Tenemos como minuendo — 10 y como sustraendo a — 2, hállese la diferencia.

Explicación: Obsérvese que aquí se tiene el negativo de — 2 ó su opuesto; es decir, — ( — 2 ), el cual es 2.

Recordemos que cuando se suman dos cantidades de signo diferente, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del mayor en valor absoluto.

Por tanto el ejemplo se plantea y resuelve así:

— 10 — ( — 2 ) = — 10 + 2 = — 8

Ejercicios:

a) – 6 – ( - 5 ) = ___________

b) – 4 – ( - 7 ) = ___________

c) – 3 – ( - 6 ) = ___________

d) – 12 – ( -5 ) = ______________

e) – 4 – ( - 9 ) = __________

f) – 13 – ( - 10 ) = ______________

g) – 1 – ( - 2 ) = _____________

h) – 4 – ( - 6 ) = __________________

i) – 8 - ( - 10 ) = ________________

j) – 14 – ( - 20 ) = _______________

CASO 5.- Se pide restar (– 8) y – 8; en este caso se suma poniendo el signo común.

Así: (- 8 ) – 8 = - 16

Otros Ejercicios similares.

a) (– 4) – 6 = ________

b) (– 10 ) – 4 = _______

c) (–3 ) – 2 = _____

d) (– 6 ) – 2 = ______

e) ( – 5 ) – 18 = ______

f) ( – 12 ) – 3 = ______

g) (- 6 ) – 7 = _______

h) ( -2 ) – 4 = _____

i) ( -34 ) – 5 = _________

j) ( - 9 ) – 1 = __________

Resuelva:

a) 5 –2 = ________

b) 3 – 7 = _________

c) – 6 – ( - 10 ) = ___________

d) – 6 – ( - 4 ) = __________

e) 8 – 3 = ________

f) – 4 – ( - 10 ) = __________

g) 12 – 14 = _______

h) 5 – 9 = _________

i) 10 – ( - 2 ) = ____________

j) 8 – ( - 9 ) = __________

k) – 7 – ( - 8 ) = _________

l) 10 – ( - 12 ) = ______

m) 15 – 13 = _________

n) ( – 4 ) – 9 = _________

ñ) ( –2 ) – 6 = __________

o) ( –2 ) – 4 = ________

p) (– 12 ) – 14 = ________

q) (– 3 ) – 5 = ________

r) – 2 – ( -2 ) = _________

s) – 9 – ( - 9 ) = ________
En lo que a multiplicación y división se refiere, es mucho más fácil; pues basta que usted aplique la ley de los signos, así:
a) Si multiplicamos o dividimos dos enteros negativos entre sí; el resultado es positivo.
- 2 X -8 = 16
- 8 / - 2 = 4
b) Si se multiplica o divide enteros de signo contrario; prevalece el signo negativo.
- 10 X 5 = - 50
- 10 / 5 = - 2