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miércoles, 3 de noviembre de 2010

Razones y proporciones


Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña
Prof. y Abg.
Saludo a los matemáticos que visiten esta página; advierto este tema lo he preparado con fines didácticos para estudiantes que inician sus estudios de esta área de los números;  se adecua al área básica o elemental; por tanto, si su nivel académico está por encima del contenido, le sugiero nos ayude con cualquier comentario o información.
RAZÓN:
Llamada también RELACIÓN.
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras. Hallando en cuanto excede una a la otra, es decir, RESTÁNDOLAS, o hallando cuántas veces contiene una la otra; es decir, DIVIDIÉNDOLAS.
Lo anterior lleva a decir que existen dos clases de razones:
1.- RAZÓN ARITMÉTICA o por diferencia.
2.- RAZÓN GEOMÉTRICA o por cociente.
RAZÓN ARITMÉTICA
Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Se pueden escribir de dos modos: Separándolas con el signo menos (—) o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6.4 y en ambos casos se lee: seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. En la razón 6 – 4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Propiedades de las razones aritméticas:

1.- Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
2.- Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
3.- Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número; la razón no varía.

RAZÓN GEOMÉTRICA

La razón geométrica de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos:
a) En forma de fracción. ¡
b) Separados por el signo entre. ÷
Así, la razón geométrica de 10 a 2 se escribe:
10 /2 ó 10 ÷ 2; y en ambos casos se lee: diez es a dos.

TÉRMINOS DE LA RAZÓN GEOMÉTRICA

Se llama antecedente el primero y consecuente el segundo. Así en la razón 15 ÷ 3; el antecedente es 15 y el consecuente es 3.

Propiedades de las razones geométricas o por cociente:
1.- Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2.- Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
3.- Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.
Hallando la razón aritmética y geométrica.

Razón aritmética de:

a) 60 y 12. R. 60 – 12 = 48
b) 16 y 4. R. 16 – 4 = 12
c) 36 y 12. R. 36 – 12 = 24
d) 28 y 4. R. 28 – 4 = 24
e) 45 y 15. R. 45 – 15 = 30

Razón geométrica de:

a) 60 y 12. R. 60 / 12 = 5
b) 16 y 4. R. 16 / 4 = 4
c) 36 y 12. R. 36 / 12 = 3
d) 28 y 4. R. 28 / 4 = 7
e) 45 y 15. R. 45 / 15 = 3

PROPORCIONES ARITMÉTICAS

EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA: es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.
Una equidiferencia se escribe de dos modos:
a) a – b = c – d
b) a. b:: c. d
En ambos casos se lee: a es a b como c es a d

TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA.

Los términos de una equidiferencia se llaman EXTREMOS el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También se llaman antecedentes al primero y tercero y consecuentes al segundo y cuarto.
Así en la equidiferencia: 30 – 10 = 25 – 5; los extremos son: 30 y 5; los medios son: 10 y 25.
Clases de equidiferencias:
a) Discreta: es aquella cuyos medios no son iguales. Ej. 20 – 5 = 18 – 3
b) Continua: es la que tiene medios iguales. Ej. 11 – 7 = 7 – 3  
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIAS:
En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Demostrar que a + b = c + d.
En efecto: sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada  a – b = c – d un extremo y un medio, b + d, tendremos: a – b + b + d = c – d + b + a; y simplificando, queda: a + d = c + b.
En la equidiferencia 8 – 6 = 9 – 7; tenemos: 8 + 7 = 6 + 9 o sea 15 = 15.

COROLARIOS
De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes corolarios:
1.- En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.
Sea la equidiferencia  a – b = c – d. Demostrar que a = b + c – d.
En efecto, ya sabemos por la propiedad fundamental, que a + d = b + c.
Restando “d” a ambos miembros, tendremos: a + d – d = b + c – d y simplificando queda: a = b + c – d.
En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.
En 8 – 3 = 7 – 2 tenemos que 8 = 3 + 7 – 2
En 15 – 5 = 20 – 10 tenemos que 15 = 5 + 20 – 10
2.- En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Demostrar que b = a + d – c. En efecto: sabemos que a + d = b + c y simplificando: b = a + d – c.
En 18 – 7 = 15 – 4 tenemos que 7 = 18 + 4 – 15
En 8 – 3 = 7 – 2 tenemos que 3 = 8 + 2 – 7

MEDIA DIFERENCIAL O MEDIA ARITMÉTICA es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así en la equidiferencia 8 – 6 = 6 – 4, la media diferencia es 6.
TEOREMA
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
Sea la equidiferencia a – b = b – c. Demostrar que b = a + c / 2
En efecto: por la propiedad fundamental sabemos que a + c = b + b o sea
a + c = 2b.
Dividendo ambos miembros por 2, queda: a + c / 2 = 2b/2 o sea a + c / 2 = b.
En 5 – 4 = 4 – 3 tenemos 4 = 5 + 3 / 2.

HALLANDO TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS.

a) 18 – 6 = 14 – X
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 6 + 14 – 18 = 2
b) X – 7 = 15 – 2
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 7 + 15 – 2 = 20
c) 18 – 3 = 15 – X
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 3 + 15 – 18 = 0
d) 25 – X = 18 – 2
Como el término desconocido es un medio y éste es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
X = 25 + 2 – 18 = 9
e) 32 – 10 = X – 12
Como el término desconocido es un medio y éste es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
X = 32 + 12 – 10 = 34
d) 15 – X = 14 – 5
Como el término desconocido es un medio y éste es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
X = 15 + 5 – 14 = 6
HALLANDO EL TÉRMINO DIFERENCIAL.
1.- Hallar la media diferencial entre 26 y 14.
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
Es necesario formar una equidiferencia continua, cuyo medio diferencial sea X y los extremos los números dados; luego despejar X; así:

X = 26 + 14 / 2 = 20.

Sustituyendo, tenemos: 26 – 20 = 20 – 14.

2.- Hallar la media diferencial entre 10 y 6.

X = 10 + 6 / 2 = 8.

Sustituyendo, tenemos: 10 – 8 = 8 – 6.

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
 Proporción geométrica o equicociente es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.
Una proporción geométrica se escribe de los modos siguientes:

a / b = c / d ó a:b::c:d

En ambos casos se lee: a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.

Los términos de una proporción geométrica se llaman: EXTREMOS el primero y el cuarto, y MEDIOS el segundo y el tercero.  Además al primero y tercero se le llaman ANTECEDENTES y al segundo y cuarto CONSECUENTES.
Así en la proporción: 12 / 2 = 24 / 4; los extremos son: 12 y 4; y los medios son: 2 y 24.
Los antecedentes son 12 y 24, los consecuentes son 2 y 4.

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS.

Hay dos clases de proporciones geométricas:
a) Discreta: es aquella cuyos medios no son iguales. 10 / 5 = 12 / 6
b) Continua: es aquella cuyos medios son iguales. 20 / 10 = 10 / 5

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS. TEOREMA.
En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Sea la proporción a / b = c / d. Demostrar que a x d = b x c.
Multiplicando ambos miembros de la igualdad a / b = c / d por el producto de un medio y un extremo, b x d, para lo cual basta multiplicar los numeradores, tendremos: a x b x d / b = c x b x d / d y simplificando queda: a x d = b x c.
En la proporción 6 / 4 = 3 / 2 tenemos que 6 x 2 = 3 x 4; es decir, 12.

COROLARIOS

1.- En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.
Sea la proporción a / b = c / d, demostrar que a = b x c / d.  
La propiedad fundamental dice que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por “d” tendremos a x d / d = b x c / d y simplificando queda: a = b x c / d.
En 9 / 12 = 3 / 4 tenemos que 9 = 12 x 3 / 4.

2.- En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido.
Sea la proporción a / b = c / d, demostrar que b = a x d / c.  
La propiedad fundamental dice que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por “c” tendremos a x d / c = b x c / c y simplificando queda: b = a x d / c.
En 5/10 = 2/4 tenemos que 2 = 5 x 4/10
MEDIA PROPORCIONAL O MEDIA GEOMÉTRICA es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, o sea, cada uno de los términos medios de una proporción geométrica, cuando son iguales. Así, en la proporción:
8 / 4 = 4 /2 la media proporcional es 4.

TEOREMA
La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Hallar los términos desconocidos en proporciones geométricas.
a)Hallar el término desconocido en 12 : 10 : : 6 : X
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tenemos:
X = 10 x 6 / 12 = 5
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda: 12 : 10 : : 6 : 5
b)Hallar el término desconocido en 15 : X : : 10 : 2
Como el término desconocido es un medio y éste es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido, tenemos:
X = 15 x 2 / 10 = 3
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda. 15 : 3 : : 10 : 2 
c)Hallar el término desconocido 16 : X : : X : 25
El término desconocido es la media proporcional y ésta es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos tenemos:
X = a la raíz cuadrada de 16 x 25 o sea de 400, y raíz cuadrada de 400 es 20.
Sustituyendo queda: 16 : 20 : : 20 : 25