Definiciones
Problema es una cuestión práctica en la que hay
que determinar ciertas cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, conociendo
sus relaciones con cantidades conocidas llamadas datos del problema.
Resolución. Resolver un problema es realizar las
operaciones necesarias para hallar el valor de la incógnita o incógnitas.
Comprobación. Comprobar un problema es cerciorarse de
que los valores que se han hallado para las incógnitas, al resolver el
problema, satisfacen las condiciones del mismo.
a) La suma de dos números es 124 y su diferencia 22.
Hallar los números.
Para resolver casos como el anterior es necesario
recordar el siguiente postulado:
Resolución
En el planteamiento del referido problema tenemos:
124 es la suma de los dos números
22 es la diferencia.
Si la suma de dos números más su diferencia es igual
al duplo del mayor,
obtenemos lo siguiente:
124 + 22 = 146 (que es el duplo del número mayor);
luego dividimos 146 / 2 para obtener el número mayor y nos da el siguiente
cociente: 73. Ahora bien, como la
suma
de los números es 124 y siendo el mayor 73, realizamos
la siguiente operación:
124 – 73 = 51, que es el número menor.
Comprobación
Consiste en ver si los dos números hallados, 73 y 51
cumplen las condiciones del problema, de que su suma sea 124 y su diferencia
22; en efecto tenemos que:
73 + 51 = 124
73 – 51 = 22
El problema anterior también se pueda resolver
aplicando el siguiente postulado: “LA
SUMA DE DOS NÚMEROS MENOS SU DIFERENCIA ES IGUAL AL DUPLO DEL MENOR”.[2]
124 – 22 = 102 (que es el duplo del menor); luego
dividimos 102 / 2 para obtener el número menor y nos da el siguiente cociente: 51.
Ahora bien, como la suma de los números es 124 y siendo el menor 51, realizamos
la siguiente operación: 124 – 51 = 73, siendo este último el número mayor.
Ejercicios:
a) La suma de dos números es 1250 y su diferencia 750.
Hallar los números.
b) La suma de dos números es 45678 y su diferencia
9856. Hallar los números.
c) El triple de la suma de dos números es 1350 y el
duplo de sus diferencias es 700.
Hallar los números.
En este caso es necesario que primero divida 1350
entre 3 para encontrar la suma de los dos números y dividir 700 entre 2 para
hallar su diferencia. La suma de los
números será 450. La diferencia de los números será 350.
Lo anterior significa que trabajará con 450 y 350; lo
que nos lleva a lo siguiente:
450 + 350 = 800 (duplo del mayor) dividimos entre 2 y
obtenemos el número mayor que es 400; luego, al número mayor le restamos la
diferencia de los dos números y tenemos el número menor; así: 400 – 350 = 50.
Comprobando:
El triple de la suma
debe ser 1350.
(400 + 50) X 3
= 450 X 3
= 1350
El duplo de sus
diferencias debe ser 700.
(400 – 50) X 2
= 350 X 2
= 700
d) La mitad de la suma de dos números es 850 y el
cuádruplo de su diferencia 600. Hallar los números.
Como dice la mitad de la suma de dos números, entonces
es necesario multiplicar por dos 850, y obtenemos 1700, que será la suma de los
números.
Ahora bien, como la diferencia es el cuádruplo;
entonces dividimos 600 / 4 = 150
1700 + 150 = 1850 (duplo del número mayor); por tanto,
dividimos entre dos y obtenemos 925 que es el número mayor. El número menor
será 925 – 150 = 775, que es el número menor.
Comprobar.
925 + 775 = 1700; ahora bien la mitad de la suma de
los números es 1700 / 2= 850.
925 – 775 = 150; ahora bien el cuádruplo de esta
diferencia es 150 X 4 = 600.
e) La edad de un padre y la del hijo suman 90 años. Si
el hijo nació cuando el padre tenía 36 años[3],
¿cuáles son las edades actuales?
90 + 36 = 126 (duplo de la edad del mayor o sea del
padre); por tanto dividimos entre 2 y obtenemos la edad actual del padre que es
63 años.
Para obtener la edad del hijo, que es este caso el
número menor restamos así:
90 – 63 = 27. Obteniendo así la edad del hijo.
Comprobar.
63 + 27 = 90
63 – 27 = 36
f) Las edades de un padre y la del hijo suman 66 años.
Si el hijo nació cuando el padre tenía 28 años[4],
¿cuáles son las edades actuales?
66 + 28 = 94 (duplo de la edad del padre); por tanto,
dividimos entre dos, así: 94 / 2 = 47 años, que es la edad del padre. Ahora
bien, como la suma de las edades es 94 y siendo la edad mayor 47, y la
diferencia es de 28, que es la edad que tenía el padre cuando nació su hijo, realizamos
la siguiente operación: 47 – 28 = 19, que es la edad del hijo.
Comprobar.
a) 47 + 19 = 66
b) 47 – 19 = 28
Otros casos.
¿Cuál es el número que
sumado con su duplo da 45?
El número que se busca más dos veces dicho número, o
sea el triple del número buscado; luego, el número buscado será 45 / 3 = 15
Comprobando.
Sumando 15 con su duplo 15 X 2 = 30, tenemos que 15 +
30 = 45
a) ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261?
R. 87
Dividimos 261 / 3 = 87, que es el número buscado.
Comprobamos.
87 + (2 X 87)
= 87 + 174
= 161
b) ¿Cuál es el número que sumado con su triple da 384?
Dividimos 384 / 4 = 96, que es el número buscado.
Comprobamos
96 + (3 X 96)
= 96 + 288
= 384
c) 638 excede en 14 unidades a la suma de un número
con su quíntuplo. ¿Cuál es el número?
638 – 14 = 624
Dividimos 624 / 6 = 104, que es el número buscado.
Comprobamos.
104 + (5 X 104)
= 104 + 520
= 624
Ahora bien, 638 excede en 14 unidades a la suma del
número buscado más su quíntuplo; por tanto, tenemos: 638 – 14 = 624.
[1]Por ejemplo: sean los números 8 y 5.
Decimos que:
(8 + 5) + (8 – 5)=2 x 8 = 16
Para sumar una suma con una diferencia, se suma el
minuendo de la diferencia con uno de los sumandos de la suma y de esta suma se
resta el substraendo; luego:
(8 + 5) + (8 – 5) = 8 + 8 + 5 – 5 = 8 + 8 = 2 X 8
En general: (a + b) + (a
– b) = 2a
[2]Por ejemplo: sean los números 8 y 5.
Decimos que:
(8 + 5) – (8 –
5) = 2 x 5 = 10
Para restar de una suma una diferencia, se suma el
substraendo con la suma y de esta suma se resta el minuendo; luego:
(8 + 5) – (8 – 5) = 5 + 8 + 5 – 8 = 5 + 5 = 2 X 5
En general: (a + b) – (a –
b) = 2b
[3]Que es la diferencia entre ambos números y en este caso la diferencia de edades.
[4] Que es la diferencia entre ambos números y en este caso la diferencia de edades.
