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domingo, 14 de noviembre de 2010

Alimentos y vitaminas


Alimentos
Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña


Pirámide de alimentos más saludables
La pirámide de alimentos más saludables es una guía visual útil para seguir una dieta equilibrada. En el ápice están los alimentos que deben consumirse en menos cantidad.
Es necesario considerar algunas situaciones de orden teórico que nos permitan tener una idea general de los alimentos que  debemos consumir para mantener la salud y la energía en nuestro organismo.
Nutrición humana
Nutrición humana, ciencia que estudia los nutrientes y otras sustancias alimenticias, y la forma en que el cuerpo las asimila.
Sólo es posible tener una idea aproximada de los complejos procesos que los nutrientes experimentan dentro del cuerpo: cómo se influyen, cómo se descomponen para liberarse en forma de energía y cómo son transportados y utilizados para reconstruir infinidad de tejidos especializados y mantener el estado general de salud del individuo. No obstante, es preciso tomar decisiones importantes con respecto a la nutrición que incidan en la salud de grupos tales como niños y ancianos, y de poblaciones enteras que sufren de malnutrición. La Organización Mundial de la Salud (OMS) y algunos países están dando indicaciones precisas en cuanto a los nutrientes que sirven de guía para conseguir una dieta equilibrada.
Nutrientes esenciales.
Los nutrientes se clasifican en cinco grupos principales: proteínas, hidratos de carbono, grasas, vitaminas y minerales. Estos grupos comprenden un total aproximado de entre 45 y 50 sustancias que los científicos consideran, sobre todo por las investigaciones realizadas con animales, esenciales para mantener la salud y un crecimiento normal. Aparte del agua y el oxígeno, incluyen también unos ocho aminoácidos constituyentes de las proteínas, cuatro vitaminas liposolubles y diez hidrosolubles, unos diez minerales y tres electrólitos. Aunque los hidratos de carbono son una fuente de energía, no se consideran esenciales, ya que para este fin se pueden transformar proteínas.

Energía

El cuerpo utiliza energía para realizar actividades vitales y para mantenerse a una temperatura constante. Mediante el empleo del calorímetro, los científicos han podido determinar las cantidades de energía de los combustibles del cuerpo: hidratos de carbono, grasas y proteínas. Un gramo de hidrato de carbono puro o de proteína pura producen 4 calorías; 1 gramo de grasa pura produce unas 9 calorías. En nutrición la kilocaloría (kcal) se define como la energía calorífica necesaria para elevar la temperatura de 1 kilo de agua de 14,5 a 15,5 º C.
Los hidratos de carbono son el tipo de alimento más abundante en el mundo, mientras que las grasas son el combustible más concentrado y más fácil de almacenar. Si el cuerpo agota sus reservas de grasas e hidratos de carbono, puede utilizar directamente las proteínas de la dieta o descomponer su propio tejido proteico para generar combustible. El alcohol es también una fuente de energía que produce 7 calorías por gramo. Las células del cuerpo no pueden oxidar el alcohol, por lo que el hígado tiene que procesarlo para convertirlo en grasa, que luego se almacena en el mismo hígado o en el tejido adiposo.

FUNCIÓN DE LOS ALIMENTOS
Las funciones de las diversas categorías de nutrientes se describen a continuación.

LAS PROTEÍNAS

La función primordial de la proteína es producir tejido corporal y sintetizar enzimas, algunas hormonas como la insulina, que regulan la comunicación entre órganos y células, y otras sustancias complejas, que rigen los procesos corporales. Las proteínas animales y vegetales no se utilizan en la misma forma en que son ingeridas, sino que las enzimas digestivas (proteasas) deben descomponerlas en aminoácidos que contienen nitrógeno. Las proteasas rompen los enlaces de péptidos que ligan los aminoácidos ingeridos para que éstos puedan ser absorbidos por el intestino hasta la sangre y reconvertidos en el tejido concreto que se necesita.
Es fácil disponer de proteínas de origen animal o vegetal. De los 20 aminoácidos que componen las proteínas, ocho se consideran esenciales es decir: como el cuerpo no puede sintetizarlos, deben ser tomados ya listos a través de los alimentos. Si estos aminoácidos esenciales no están presentes al mismo tiempo y en proporciones específicas, los otros aminoácidos, todos o en parte, no pueden utilizarse para construir las proteínas humanas. Por tanto, para mantener la salud y el crecimiento es muy importante una dieta que contenga estos aminoácidos esenciales. Cuando hay una carencia de alguno de ellos, los demás aminoácidos se convierten en compuestos productores de energía, y se excreta su nitrógeno. Cuando se ingieren proteínas en exceso, lo cual es frecuente en países con dietas ricas en carne, la proteína extra se descompone en compuestos productores de energía. Dado que las proteínas escasean bastante más que los hidratos de carbono aunque producen también 4 calorías por gramo, la ingestión de carne en exceso, cuando no hay demanda de reconstrucción de tejidos en el cuerpo, resulta una forma ineficaz de procurar energía. Los alimentos de origen animal contienen proteínas completas porque incluyen todos los aminoácidos esenciales. En la mayoría de las dietas se recomienda combinar proteínas de origen animal con proteínas vegetales. Se estima que 0,8 gramos por kilo de peso es la dosis diaria saludable para adultos normales.
Muchas enfermedades e infecciones producen una pérdida continuada de nitrógeno en el cuerpo. Este problema debe ser compensado con un mayor consumo de proteína dietética. Asimismo, los niños también precisan más proteína por kilogramo de peso corporal. Una deficiencia de proteínas acompañada de falta de energía da origen a una forma de malnutrición proteico-energética conocida con el nombre de marasmo, que se caracteriza por pérdida de grasa corporal y desgaste de músculos.

MINERALES

Los minerales inorgánicos son necesarios para la reconstrucción estructural de los tejidos corporales además de que participan en procesos tales como la acción de los sistemas enzimáticos, contracción muscular, reacciones nerviosas y coagulación de la sangre. Estos nutrientes minerales, que deben ser suministrados en la dieta, se dividen en dos clases:
Macroelementos, tales como calcio, fósforo, magnesio, sodio, hierro, yodo y potasio; y Microelementos, tales como cobre, cobalto, manganeso, flúor y cinc.
El calcio es necesario para desarrollar los huesos y conservar su rigidez. También participa en la formación del citoesqueleto y las membranas celulares, así como en la regulación de la excitabilidad nerviosa y en la contracción muscular. Un 90% del calcio se almacena en los huesos, donde puede ser reabsorbido por la sangre y los tejidos. La leche y sus derivados son la principal fuente de calcio.
El fósforo, también presente en muchos alimentos y sobre todo en la leche, se combina con el calcio en los huesos y los dientes. Desempeña un papel importante en el metabolismo de energía en las células, afectando a los hidratos de carbono, lípidos y proteínas.
El magnesio, presente en la mayoría de los alimentos, es esencial para el metabolismo humano y muy importante para mantener el potencial eléctrico de las células nerviosas y musculares. La deficiencia de magnesio entre los grupos que padecen malnutrición, en especial los alcohólicos, produce temblores y convulsiones.
El sodio está presente en pequeñas cantidades en la mayoría de los productos naturales y abunda en las comidas preparadas y en los alimentos salados. Está también presente en el fluido extracelular, donde tiene un papel regulador. El exceso de sodio produce edema, que consiste en una superacumulación de fluido extracelular. En la actualidad existen pruebas de que el exceso de sal en la dieta contribuye a elevar la tensión arterial.
El hierro es necesario para la formación de la hemoglobina, pigmento de los glóbulos rojos de la sangre responsables de transportar el oxígeno. Sin embargo, este mineral no es absorbido con facilidad por el sistema digestivo. En los hombres se encuentra en cantidades suficientes, pero las mujeres en edad menstrual, que necesitan casi dos veces más cantidad de hierro debido a la pérdida que se produce en la menstruación, suelen tener deficiencias y deben tomar hierro fácil de asimilar.
El yodo es imprescindible para la síntesis de las hormonas de la glándula tiroides. Su deficiencia produce bocio, que es una inflamación de esta glándula en la parte inferior del cuello. La ingestión insuficiente de yodo durante el embarazo puede dar lugar a cretinismo o deficiencia mental en los niños. Se calcula que más de 150 millones de personas en el mundo padecen enfermedades ocasionadas por la insuficiencia de yodo.
Los microelementos son otras sustancias inorgánicas que aparecen en el cuerpo en diminutas cantidades, pero que son esenciales para gozar de buena salud. Se sabe poco de su funcionamiento, y casi todo lo que se conoce de ellos se refiere a la forma en que su ausencia, sobre todo en animales, afecta a la salud. Los microelementos aparecen en cantidades suficientes en casi todos los alimentos.
Entre los microelementos más importantes se encuentra el cobre, presente en muchas enzimas y en proteínas, que contiene cobre, de la sangre, el cerebro y el hígado. La insuficiencia de cobre está asociada a la imposibilidad de utilizar el hierro para la formación de la hemoglobina.
El cinc también es importante para la formación de enzimas. Se cree que la insuficiencia de cinc impide el crecimiento normal y, en casos extremos, produce enanismo.
Se ha descubierto que el flúor, que se deposita sobre todo en los huesos y los dientes, es un elemento necesario para el crecimiento en animales. Los fluoruros, una clase de compuestos del flúor, son importantes para evitar la desmineralización de los huesos. La fluorización del agua ha demostrado ser una medida efectiva para evitar el deterioro de la dentadura, reduciéndolo hasta casi un 40%.
Entre los demás microelementos podemos citar el cromo, el molibdeno y el selenio.

HIDRATOS DE CARBONO

Los hidratos de carbono aportan gran cantidad de energía en la mayoría de las dietas humanas. Los alimentos ricos en hidratos de carbono suelen ser los más baratos y abundantes en comparación con los alimentos de alto contenido en proteínas o grasa. Los hidratos de carbono se queman durante el metabolismo para producir energía, liberando dióxido de carbono y agua. Los seres humanos también obtienen energía, aunque de manera más compleja, de las grasas y proteínas de la dieta, así como del alcohol.
Hay dos tipos de hidratos de carbono: féculas, que se encuentran principalmente en los cereales, legumbres y tubérculos, y azúcares, que están presentes en los vegetales y frutas. Los hidratos de carbono son utilizados por las células en forma de glucosa, principal combustible del cuerpo. Tras su absorción desde el intestino delgado, la glucosa se procesa en el hígado, que almacena una parte como glucógeno, (polisacárido de reserva y equivalente al almidón de las células vegetales), y el resto pasa a la corriente sanguínea. La glucosa, junto con los ácidos grasos, forma los triglicéridos, compuestos grasos que se descomponen con facilidad en cetonas combustibles. La glucosa y los triglicéridos son transportados por la corriente sanguínea hasta los músculos y órganos para su oxidación, y las cantidades sobrantes se almacenan como grasa en el tejido adiposo y otros tejidos para ser recuperadas y quemadas en situaciones de bajo consumo de hidratos de carbono.
Los hidratos de carbono en los que se encuentran la mayor parte de los nutrientes son los llamados hidratos de carbono complejos, tales como cereales sin refinar, tubérculos, frutas y verduras, que también aportan proteínas, vitaminas, minerales y grasas. Una fuente menos beneficiosa son los alimentos hechos con azúcar refinado, tales como productos de confitería y las bebidas no alcohólicas, que tienen un alto contenido en calorías pero muy bajo en nutrientes y aportan grandes cantidades de lo que los especialistas en nutrición llaman calorías vacías.
LAS GRASAS
Aunque más escasas que los hidratos de carbono, las grasas producen más del doble de energía. Por ser un combustible compacto, las grasas se almacenan muy bien para ser utilizadas después en caso de que se reduzca el aporte de hidratos de carbono. Resulta evidente que los animales necesitan almacenar grasa para abastecerse en las estaciones frías o secas, lo mismo que los seres humanos en épocas de escasez de alimentos. Sin embargo, en los países donde siempre hay abundancia de alimentos y las máquinas han reemplazado a la mano de obra humana, la acumulación de grasa en el cuerpo se ha convertido en verdadero motivo de preocupación por la salud.
Las grasas de la dieta se descomponen en ácidos grasos que pasan a la sangre para formar los triglicéridos propios del organismo. Los ácidos grasos que contienen el mayor número posible de átomos de hidrógeno en la cadena del carbono se llaman ácidos grasos saturados, que proceden sobre todo de los animales. Los ácidos grasos saturados son aquellos que han perdido algunos átomos de hidrógeno. En este grupo se incluyen los ácidos grasos monoinsaturados que han perdido sólo un par de átomos de hidrógeno y los ácidos grasos poliinsarurados, a los que les falta más de un par. Las grasas poliinsaturadas se encuentran sobre todo en los aceites de semillas. Se ha detectado que las grasas saturadas elevan el nivel de colesterol en la sangre, mientras que las no saturadas tienden a bajarlo. Las grasas saturadas suelen ser sólidas a temperatura ambiente; las insaturadas son líquidas.
TIPOS DE ALIMENTOS
Los alimentos se pueden clasificar en:
—panes y cereales
—leguminosas o legumbres
—tubérculos y rizomas
—frutas y verduras
—carne
—pescado
—huevo
—leche y derivados
—grasas y aceites
—azúcares, confituras y almíbares.
El grupo de panes y cereales incluye el trigo, arroz, maíz y mijo. Son ricos en almidones y constituyen una fuente fácil y directa de suministro de calorías. Aunque la proteína no abunda en los cereales integrales, la gran cantidad que se consume aporta cantidades significativas, las cuales, sin embargo, deben complementarse con otros alimentos ricos en proteínas para obtener todos los aminoácidos esenciales. La harina de trigo blanco y el arroz refinado son bajos en nutrientes, pero, como todos los cereales enteros que contienen el germen y la capa exterior de la semilla, el trigo y el arroz aportan fibra al cuerpo: las vitaminas B tiamina, niacina y riboflavina, y los minerales cinc, cobre, manganeso y molibdeno.
Las legumbres o leguminosas abarcan una amplia variedad de frijoles o judías, chícharos o guisantes, lentejas y granos, e incluso el maní. Todos ellos son ricos en almidón, pero aportan bastante más proteína que los cereales o tubérculos. La proporción y el tipo de aminoácidos de las leguminosas es similar a los de la carne. Sus cadenas de aminoácidos a menudo complementan a las del arroz, el maíz y el trigo, que constituyen los alimentos básicos de muchos países.
Los tubérculos y los rizomas incluyen varios tipos de papa o patata, la mandioca y el taro. Son ricos en almidón y relativamente bajos en proteína, pero aportan gran variedad de vitaminas y minerales.
Las frutas y verduras son una fuente directa de muchos minerales y vitaminas que faltan en las dietas de cereales, en especial la vitamina C de los cítricos y la vitamina A procedente del caroteno de las zanahorias y verduras con hoja. En las verduras están presentes el sodio, cobalto, cloro, cobre, magnesio, manganeso, fósforo y potasio. La celulosa de las verduras, casi imposible de digerir, proporciona el soporte necesario para hacer pasar la comida por el tracto digestivo. Muchas de las vitaminas más frágiles hidrosolubles se encuentran en las frutas y verduras, pero se destruyen con gran facilidad con el exceso de cocción.
La carne, el pescado y los huevos aportan todos los aminoácidos esenciales que el cuerpo necesita para ensamblar sus propias proteínas. La carne contiene un 20% de proteína, 20% de grasa y 60% de agua. Las vísceras son fuentes ricas en vitaminas y minerales. Todos los pescados contienen un alto porcentaje de proteínas, y los aceites de algunos de ellos son ricos en vitaminas D y A. La clara del huevo es la forma más concentrada de proteína que existe.
La leche y sus derivados incluyen la leche entera, el queso, el yogur y los helados, todos ellos conocidos por su abundancia en proteína, fósforo y en especial calcio. La leche también es rica en vitaminas pero no contiene hierro y, si es pasteurizada, carece de vitamina C. Aunque la leche es esencial para los niños, su excesivo consumo por parte de los adultos puede producir ácidos grasos saturados que se acumulan en el sistema circulatorio.
Las grasas y aceites incluyen la mantequilla, manteca, sebo y aceites vegetales. Todos ellos tienen un alto contenido de calorías, pero, aparte de la mantequilla y algunos aceites vegetales como el de palma, contienen pocos nutrientes.
Los azúcares, confituras y almíbares se consumen en grandes cantidades en algunos países, donde constituyen una gran parte del aporte de hidratos de carbono. La miel y el jarabe de arce están compuestos de más de un 75% de azúcar y contienen pocos nutrientes. El consumo excesivo de azúcar provoca caries.
CANTIDAD DE NUTRIENTES RECOMENDADA
La cantidad de nutrientes recomendada viene establecida por las autoridades competentes nacionales y algunas internacionales, para indicar las cantidades máximas de nutrientes necesarias para llevar una dieta sana y equilibrada. Estas cantidades, sin embargo, varían de persona a persona.
INDICACIONES DIETÉTICAS
En general, los científicos recomiendan lo siguiente: comer alimentos variados; mantener el peso ideal; evitar el exceso de grasas y aceites, grasas saturadas y colesterol; comer alimentos con suficiente almidón y fibra; evitar el exceso de azúcar y sodio, y, en caso de beber alcohol, hacerlo moderadamente.
La ciencia de la nutrición aún está lejos de explicar en qué modo los alimentos afectan a ciertos individuos. El porqué algunas personas pueden dejar de comer en un momento determinado mientras otras viven obsesionadas con la comida, por ejemplo, es algo que todavía sigue siendo un misterio. Los investigadores han descubierto recientemente que poco después de la ingestión los alimentos influyen en la liberación de importantes sustancias químicas cerebrales, y que los alimentos ricos en hidratos de carbono disparan la liberación de serotonina, la que a su vez suprime el deseo de ingerir hidratos de carbono. Es posible que este tipo de mecanismo se haya desarrollado para evitar que las personas se saturen de hidratos de carbono en lugar de procurarse proteínas, que son más difíciles de encontrar. Hasta hace poco tiempo había bastante más disponibilidad de hidratos de carbono que de proteína. Se cree que la serotonina colabora en complejas relaciones con la insulina y varios aminoácidos, en especial el triptófano, que participan en la regulación del apetito para diversos tipos de alimentos. En esta misma área de investigación, los expertos en nutrición están intentando descifrar la relación entre diabetes y obesidad y el papel que desempeñan los dulces en las personas afectadas por ellas.

LAS VITAMINAS
Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña
Las vitaminas liposolubles son compuestos orgánicos que actúan sobre todo en los sistemas enzimáticos para mejorar el metabolismo de las proteínas, los hidratos de carbono y las grasas. Sin estas sustancias no podría tener lugar la descomposición y asimilación de los alimentos.
Ciertas vitaminas participan en la formación de las células de la sangre, hormonas, sustancias químicas del sistema nervioso y materiales genéticos.
Las vitaminas se clasifican en dos grupos: liposolubles e hidrosolubles.
Entre las vitaminas liposolubles están las vitaminas A, D, E y K.
Entre las hidrosolubles se incluyen la vitamina C y el complejo vitamínico B.
Las vitaminas liposolubles suelen absorberse con alimentos que contienen esta sustancia. Su descomposición la lleva a cabo la bilis del hígado, y después las moléculas emulsionadas pasan por los vasos linfáticos y las venas para ser distribuidas en las arterias. El exceso de estas vitaminas se almacena en la grasa corporal, el hígado y los riñones. Debido a que se pueden almacenar, no es necesario consumir estas vitaminas a diario.
La vitamina A es esencial para las células epiteliales y para un crecimiento normal. Su insuficiencia produce cambios en la piel y ceguera nocturna, o falta de adaptación a la oscuridad debido a los efectos de su carencia en la retina. Es posible que con el tiempo se llegue a la xeroftalmia, un estado ocular caracterizado por sequedad y engrosamiento de la superficie de la córnea y la membrana conjuntiva. Si no se trata, sobre todo la xeroftalmia puede causar ceguera, especialmente en los niños. La vitamina A se puede obtener directamente en la dieta mediante los alimentos de origen animal, tales como leche, huevos e hígado. Casi toda la vitamina A se obtiene del caroteno, que se encuentra en las frutas y verduras verdes y amarillas, y se transforma en vitamina A en el cuerpo.
La vitamina D actúa casi como una hormona, ya que regula la absorción de calcio y fósforo y el metabolismo. Una parte de la vitamina D se obtiene de alimentos como los huevos, el pescado, el hígado, la mantequilla, la margarina y la leche, que pueden haber sido enriquecidos con esta vitamina. Los seres humanos, sin embargo, toman la mayor parte de su vitamina D exponiendo la piel a la luz del Sol. Su insuficiencia produce raquitismo en los niños y osteomalacia en los adultos.
La vitamina E es un nutriente esencial para muchos vertebrados, pero aún no se ha determinado su papel en el cuerpo humano. Se ha hecho muy popular como remedio para muchas y diversas dolencias, pero no existen pruebas claras de que alivie ninguna enfermedad concreta. La vitamina E se encuentra en los aceites de semillas y en el germen de trigo. Se cree que funciona como antioxidante, protegiendo las células del deterioro causado por los radicales libres.
La vitamina K es necesaria para la coagulación de la sangre. Participa en la formación de la enzima protrombina, la que, a su vez, es indispensable en la producción de fibrina para la coagulación sanguínea. La vitamina K se produce en cantidades suficientes en el intestino gracias a una bacteria, pero también la proporcionan los vegetales de hoja verde, como las espinacas y la col, la yema de huevo y muchos otros alimentos.
Las vitaminas hidrosolubles (vitamina C y complejo vitamínico B) no se pueden almacenar, por lo que es necesario su consumo diario para suplir las necesidades del cuerpo. La vitamina C, o ácido ascórbico, desempeña un papel importante en la síntesis y conservación del tejido conectivo. Evita el escorbuto, que ataca las encías, piel y membranas mucosas, y su principal aporte viene de los cítricos.
Las vitaminas más importantes del complejo vitamínico B son
—La tiamina (B 1)
—La riboflavina (B 2)
—La nicotinamida (B 3)
—La piridoxina (B 6)
—El ácido pantoténico
—La lecitina
—La colina
—El inositol
—El ácido para-aminobenzoico (PABA)
—El ácido fólico
—La cianocobalamina (B 12)
Estas vitaminas participan en una amplia gama de importantes funciones metabólicas y previenen afecciones tales como el beriberi y la pelagra. Se encuentran principalmente en la levadura y el hígado.
VITAMINAS

VITAMINA


ALIMENTOS EN LOS QUE SE ENCUENTRA
FUNCIONES PRINCIPALES


EFECTOS DE LA DEFICIENCIA
Liposoluble



A
Vegetales, productos lácteos, hígado
Componente de pigmentos sensibles a la luz. Afecta a la vista y al mantenimiento de la piel
Ceguera nocturna, ceguera permanente, sequedad en la piel
D
Productos lácteos, huevos, aceite de hígado de pescado, luz ultravioleta
Absorción de calcio, formación de los huesos
Raquitismo
E
Margarina, semillas, verduras de hoja verde
Protege contra la oxidación de ácidos grasos y membranas celulares
Anemia
K
Verduras de hoja verde
Coagulador sanguíneo
Inhibición de la coagulación de la sangre
Hidrosoluble



B1 (Tiamina)
Vísceras, cerdo, cereales, legumbres
Metabolismo de los hidratos de carbono. Regulación de las funciones nerviosas y cardiacas
Beriberi (debilidad muscular, mala coordinación e insuficiencia cardiaca)
B2 (Riboflavina)
Productos lácteos, hígado, huevos, cereales, legumbres
Metabolismo
Irritación ocular, inflamación y ruptura de células epidérmicas
B3 (Nicotinamida)
Hígado, carne magra, cereales, legumbres
Reacciones de oxidación-reducción en la respiración celular
Pelagra (dermatitis, diarrea y trastornos mentales)
B5 (Ácido pantoténico)
Productos lácteos, hígado, huevos, cereales, legumbres
Metabolismo
Fatiga, pérdida de coordinación
B6 (Piridoxina)
Cereales, verduras, carnes
Metabolismo d
E los aminoácidos
Convulsiones, alteraciones en la piel y cálculos renales
B12 (Cobalamina)
Carnes rojas, huevos, productos lácteos
Metabolismo de los ácidos nucleicos
Anemia perniciosa, trastornos neurológicos
Biotina
Carnes, verduras, legumbres
Síntesis de ácidos grasos y metabolismo de aminoácidos
Depresión, fatiga, náuseas
C (Ácido ascórbico)
Cítricos, verduras de hoja verde, tomates
Formación de colágeno en dientes, huesos y tejido conectivo de vasos sanguíneos
Escorbuto (hemorragias y caída de dientes)
Ácido fólico
Alimentos integrales, verduras de hoja verde, legumbres
Metabolismo de los ácidos nucleicos
Anemia, diarrea

Minerales


MINERAL


ALIMENTOS EN LOS QUE SE ENCUENTRA
FUNCIONES PRINCIPALES

EFECTOS DE LA DEFICIENCIA
Calcio
Leche, queso, legumbres, verduras
Formación de huesos y dientes, coagulación sanguínea y transmisión nerviosa
Raquitismo, osteoporosis
Cloro
Alimentos que contienen sal, algunas verduras y frutas
Regulación de fluidos entre células o capas de células
Desequilibrio ácido-base en los fluidos corporales (muy raro)
Magnesio
Cereales, verduras de hoja verde
Activación de enzimas, síntesis de proteínas
Fallos en el crecimiento, problemas de comportamiento, convulsiones
Fósforo
Leche, queso, yogur, pescado, aves de corral, carnes, cereales
Formación de huesos y dientes, mantenimiento del equilibrio ácido-base
Debilidad, pérdida de calcio
Potasio
Bananas, verduras, patatas, leche, carnes
Mantenimiento del equilibrio ácido-base y de fluidos, transmisión nerviosa
Calambres musculares, pérdida del apetito, ritmo cardiaco irregular
Azufre
Pescado, aves de corral, carnes
Mantenimiento del equilibrio ácido-base y funcionamiento del hígado
Trastornos poco probables aunque el cuerpo reciba menos cantidades de las necesarias
Sodio
Sal de mesa
Mantenimiento del equilibrio ácido-base y del nivel de agua en el cuerpo, función nerviosa
Calambres musculares, pérdida del apetito
Cromo
Legumbres, cereales, vísceras, grasas, aceites vegetales, carnes, cereales
Metabolismo de la glucosa
Aparición de diabetes en adultos
Cobre
Carnes, agua potable
Formación de glóbulos rojos
Anemia, afecta al desarrollo de huesos y tejido nervioso
Flúor
Agua potable, té, marisco
Mantenimiento de la estructura ósea, resistencia a la caries dental
Osteoporosis, caries dental
Yodo
Pescado de mar, marisco, productos lácteos, verduras, sal yodada
Síntesis de las hormonas tiroideas
Inflamación del tiroides (bocio)
Hierro
Carnes magras, huevos, cereales, verduras de hoja verde, legumbres
Formación de hemoglobina
Anemia
Selenio
Marisco, carnes, cereales
Previene la descomposición de grasas y otras sustancias químicas del cuerpo
Anemia
Cinc
Carnes magras, pan y cereales, legumbres, marisco
Componente de muchas enzimas
Fallos en el crecimiento, atrofia de las glándulas sexuales, retraso en la curación de heridas

jueves, 11 de noviembre de 2010

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL


Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña

Este sistema numérico (base diez) es utilizado actualmente por convenio en todos los países del mundo; sin embargo, Estados Unidos de Norte América, Francia y Alemania, tienen un criterio distinto en la forma de llamar al millar de millones, billón,  millar de billones, en fin. Para efectos de información en esos países se les llama así, en orden respectivo: billón, trillón, cuatrillón. 
Formado por órdenes y subórdenes. En este sistema las cantidades aumentan y disminuyen de 10 en 10; es decir, que 10 unidades de un orden cualquiera, forman una unidad de orden inmediato superior. Así, por ejemplo, 10 unidades simples forman una decena; 10 decenas, una centena; 10 centenas, una unidad de millar; 10 unidades de millar, una decena de millar; 10 decenas de millar, una centena de millar; 10 centenas de millar, un millón; y así sucesivamente. 
Las subórdenes se obtienen de manera parecida. La unidad de primer orden se divide en diez, formando las décimas (primera suborden), seguimos dividiendo de igual manera y vamos obteniendo centésimas (segundo suborden); milésimas (tercer suborden); diezmilésimas (cuarto suborden) y así sucesivamente. 
El siguiente esquema presenta la información necesaria para comprender el sistema de numeración decimal que está dividido en órdenesclases y períodos.
NOTACIÓN EXPANDIDA
100 = 1
101 = 10
102 = 10 X 1 0  =100  
103 = 10 X 10 X 10 = 1,000
104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10,000
105 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 100,000
= 8 X 105 + 4 X 104 + 5 X 103 + 6 X 102 + 3 X 101 + 7 X 100
= 8 X 100,000 + 4 X 10,000 + 5 X 1,000 + 6 X 100 + 3 X 10 + 7 X 1
= 800,000 + 40,000 + 5,000 + 600 + 30 + 7
= 845,637
De la tabla anterior se pueden hacer las siguientes observaciones:
1°.- Un período comprende 2 clases. El Período de las Unidades comprende:
a) La clase de las unidades.
b) La clase de los millares.
2°.- Cada clase está formada por 3 órdenes consecutivos. Así, la clase de las unidades se forma con el 1°, 2° y 3° orden. La clase de los millares se forma con el 4°, 5° y 6° orden.
3°.- Al leer una cantidad de 4 cifras o más se colocará una coma (punto) para separar las unidades de los millares. Esta coma (punto) se debe leer mil. En el ejemplo la cantidad formada se lee: ochocientos cuarenta y cinco mil seiscientos treinta y siete.
En lo que se refiere a la notación expandida; es decir para descomponer un número en centenas de millar, decenas de millar, unidades de millar, centenas, decenas y unidades es necesario señalar los siguientes conocimientos básicos que debe tener:
1°.- Potencia: producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número (letra o expresión algebraica) por sí mismo.
En la potencia an, a es la base y n el exponente.
Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define: an = a ·…· a (n factores)
Expresado en números:
En la potencia 83, 8 es la base y 3 el exponente.
2°.- El exponente indica las veces que la base se repite como factor; es decir las veces que dicha base se multiplica por sí misma. Ejemplos:
a) 72 = 7 X 7
b) 54 = 5 X 5 X 5 X 5
Con los conocimientos anteriores emprendamos el maravilloso camino del aprendizaje de los números.
Información adicional:
El sistema de numeración decimal es de origen "indo – arábigo", el cual tiene las siguientes propiedades:
1.- Su base es el 10. (Agrupa de 10 en 10)
2.- Emplea 10 cifras. (0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9)
3.- Es posicional. (Según el lugar que ocupa cada cifra tiene un valor relativo: unidades, decenas, centenas, etc.)
4.- Es multiplicativo. (Según el lugar, cada cifra esta multiplicada por una potencia de 10: 100, 101, 102, etc.)
5.- Es aditivo. (Cada número es la suma de los valores relativos de sus cifras)
VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO
Toda cifra tiene dos valores encada cantidad:
a) Valor absoluto
b) Valor relativo
El valor absoluto es lo que cada cifra representa sin importar el lugar o posición que ocupa en la cantidad.
Sea el número 8,397. Los valores absolutos son:
El valor absoluto de 8 es 8.
El valor absoluto de 3 es 3.
El valor absoluto de 9 es 9.
El valor absoluto de 7 es 7.
El valor relativo o posicional es el que posee cada cifra de acuerdo al lugar o posición que ocupa en la cantidad. Se le llama también valor de lugar.
Tomando como ejemplo la cantidad anterior:
El valor relativo, posicional o de lugar de cada una de las cifras es:
El valor relativo de 8 es: 8,000                             
El valor relativo de 3 es: 300
El valor relativo de 9 es: 90
El valor relativo de 7 es: 7
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales constituyen una serie infinita cuyo primer elemento es el 1 y su último elemento no se puede determinar, pues siempre podemos colocar un número más después del final de la serie numérica.
El símbolo para representar los números naturales es la letra “N”. Así:
N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...}. Los tres puntos colocados después del último elemento indican que los elementos continúan infinitamente; por esta razón se dice NO HAY un último elemento en la serie de los números naturales.
Los números naturales son los que sirven para contar; pues siempre iniciamos el proceso de contar con el número 1, hasta llegar al total de objetos a contar.
SUCESOR Y ANTECESOR
Se le llama sucesor de un número natural a aquel número que sigue inmediatamente después de él. Ejemplos:
El sucesor de 100 es 101          —             El sucesor de 5 es 6.
Se le llama antecesor de un número natural a aquel número que está ubicado inmediatamente antes de él. Ejemplos:
El antecesor de 8 es 7.
El antecesor de 890 es 879.
El antecesor de 500 es  499.

Números cardinales:

Son aquellos que representan el total de elementos distintos que tiene un conjunto dado.
N0 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, ...}


Números ordinales:

Es todo número que denota un lugar u orden.



1° primero                  
2° segundo                  
3° tercero                    
4° cuarto                     
5° quinto                    
6° sexto                      
7° séptimo                 
8° octavo                   
9° noveno                  

10° décimo                          
20° vigésimo                      
30° trigésimo                       
40° cuadragésimo               
50° quincuagésimo             
60° sexagésimo                  
70° septuagésimo                
80° octogésimo                   
90° nonagésimo                  

100° centésimo
200° ducentésimo
300° tricentésimo
400° cuadringentésimo
500° quingentésimo
600° sexcentésimo
700° septingentésimo
800° octingentésimo
900° noningentésimo     

NÚMEROS ROMANOS

Es el sistema de representación de los números empleados por los romanos. La numeración romana no utiliza el principio del valor relativo, pues el valor de los símbolos siempre es el mismo, sin que influya el lugar que ocupan.
Sistema de numeración que emplea los siguientes símbolos:

Además del empleo de los símbolos anteriores es necesario destacar lo siguiente:
a) Una rayita colocada encima de una letra indica tantos miles como unidades tenga ese símbolo.
b) Dos rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos millones como unidades tenga ese símbolo.
c) Tres rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos miles de millones como unidades tenga ese símbolo.
d) Cuatro rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos billones como unidades tenga ese símbolo.
e) Cinco rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos miles de billones como unidades tenga ese símbolo.
f) Seis rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos trillones como unidades tenga ese símbolo.
PRINCIPIOS:
1°.- Aditivo: Un número es la suma de los valores que cada símbolo representa. Ejemplo:
CCXXXV = 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 5 = 235
MMDCLXVII = 1000 + 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 2,667
XXVI = 10 + 10 + 5 + 1 = 26
DCCLXXXVIII = 500 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 788
2°.- Sustractivo: Un símbolo que antecede a otro de mayor valor, implica que se resta la mayor. Ejemplos:
IV = 5 — 1 = 4
IX = 10 — 1 = 9
XL = 50 — 10 = 40
XC = 100 — 10 = 90
CD = 500 — 100 = 400
CM = 1000 — 100 = 900
REGLAS PARA LA REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS.
1°. Si a la derecha de una cifra colocamos otra igual o menor, el valor de la primera queda aumentado con el de la segunda.
CL = 150
XV = 15
LV = 55
MV = 1,005
2°.- Si a la izquierda de una cifra colocamos otra menor, el valor de ésta se resta de la anterior.
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900
3°.- Nunca se puede emplear más de tres símbolos iguales seguidos a la derecha de otra cifra mayor, ni aislados; ni más de uno a la izquierda de otra mayor.
Escribir en números arábigos:
a) XXVI =
b) CCLI =

martes, 9 de noviembre de 2010

Regla de tres simple. Cálculo del interés simple

Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña
Prof. y Abg.
REGLA DE TRES SIMPLE. APLICACIÓN EN LA OBTENCIÓN DEL PORCENTAJE DE DESCUENTO COMERCIAL.
Definir el concepto porcentaje.
Porcentaje: Tanto por ciento. Por ciento. Rédito. Tasa. Es el número que corresponde por cada cien de otro. Su símbolo es % y se lee “por ciento”.
Si por cada 100 de 800 corresponden 5; entonces el porcentaje es 5, lo cual se denota así: 5% y se lee “cinco por ciento”. Ahora bien, el 5% de 800 se obtiene así:

—5% de 800 = 5X800/100= 5/100X800=40 o sea:

—5% de 800 = 5%X800=5/100X800, por lo que se acostumbra decir que: 5%=5/100=0.05.

En lo que al caso se refiere aplicaremos la regla de tres simple de la siguiente manera:
100% — 800
5% — X
Entonces X= 5% X 800/100 = 4000/100 = 40
Ejercicios a desarrollar.
En un almacén la mercadería está rebajada en un 16%, en tal sentido si los productos tienen los precios que se propondrán, la pregunta es ¿cuánto pagaré por el artículo?
Primero se obtiene el porcentaje de descuento, aplicando el planteamiento de regla de tres simple. Encontrado el valor de “X”, se le resta al valor original del producto para determinar el precio que se pagará por la mercadería con el descuento indicado.
a) Un pantalón que normalmente cuesta $35
Planteamiento:
100% —— $35
16%   —— X
Luego:

X = 16% X $35/100% = $560/100 = $5.60

Hoy restamos el valor de X a $35 y obtenemos el precio del pantalón en rebaja del 16%, así:
$35.00—
    5.60=
$29.40
La respuesta es entonces la siguiente:
El pantalón en rebaja del 16% costará $ 29. 40
b) Un televisor cuyo precio normal es de $780.
Planteamos:
100% —— $780
16%   —— X
Luego:

X = 16% X $780 /100% = $ 12480 / 100 = $124.8

Por tanto, el 16% de $789 es $124.80
Hoy, restamos el valor de X a $780, para obtener el precio del televisor en rebaja; así:
$ 780. 00—
$ 124. 80 =
$ 655. 20
La respuesta es entonces la siguiente:
El televisor con el 16% de descuento costará $ 655. 20
c) Un equipo de sonido valorado en $670.
Planteamos:
100% ——— $ 670
16%   ——— X
Luego:
X = 16%X$670/100%
X = $10720/100
X = $ 107.2
Ahora restamos el 16% a $670, así:
$ 670.00—
$ 107.20=
$ 562.80
Por tanto el precio del equipo de sonido con el 16% de descuento es de $ 562.80
d) Una computadora cuyo precio normal es de $ 1180.
Planteamiento:
100% ———— $ 1180
16%   ———— X
Luego:
X = 16% X $1180/ 100
X = $ 18880/ 100
X = $ 188.80
Ahora restamos el 16% al precio original para obtener el precio de la computadora que está en venta con ese descuento, así:
$ 1180.00—
$   188.80=
$   991.20
Por tanto; el valor de la computadora es de $ 991.20
Otros ejercicios:
1.- ¿Cuánto pagaré por una camisa cuyo precio es de $45, si está rebajada en un 30%?
2.- ¿Cuánto pagaré por un pantalón cuyo precio es de $35, si tiene un descuento del 12%?
3.- ¿Cuánto pagaré por una refrigeradora cuyo precio normal es de $678, si tiene un descuento del 14%?
4.- ¿Cuánto pagaré por un equipo de sonido cuyo precio normal es de $1078, si tiene un descuento del 24%?
5.- ¿Cuánto pagaré por una plancha cuyo precio normal es de $17, si tiene un descuento del 4%?
6.- ¿Cuánto pagaré por una cocina cuyo precio normal es de $456, si tiene un descuento del 18%?
7.- ¿Cuánto pagaré por una lavadora cuyo precio normal es de $768, si tiene un descuento del 30%?
8.- ¿Cuánto pagaré por un frasco de medicina que tiene un precio normal de $12, si tiene un descuento del 15%?
9.- ¿Cuánto pagaré por un frasco de vitaminas que tiene un precio normal de $37, si tiene un descuento del 14%?
10.- ¿Cuánto pagaré por una licuadora cuyo precio normal es de $45, si tiene un descuento del 8%?

viernes, 5 de noviembre de 2010

Operaciones matemáticas. Uso de paréntesis

Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña
Prof. y Abg.
1.- Si sólo hay sumas, las operaciones se pueden realizar en cualquier orden, lo mismo que si en la expresión sólo hay productos.

            1.1.-
a) 2+3+4+7=       
b) 8+9+6+5=         
c) 3+5+4+7=        
d) 2+1+4+3+9=

1.2.-
a) 3X4X5X3=      
b) 6X3X2X7=     
c) 4x5x7x4=        
d) 2x5x2=

2.- Si en la expresión no hay paréntesis y sólo hay sumas y restas, las operaciones se realizan de izquierda  a derecha.

2.1
a) 2+3+5+6—2+4—7=    
b) 8+6+4 —5=   
c) 6+5+7—3=    
d) 4+6+7—3+5=

3.- Si no hay paréntesis y hay multiplicaciones o divisiones, primeramente se realizan estas operaciones. (Se realizan  las operaciones fuertes X y /  y luego las débiles + y -) Ej. :

a) 2X6+8/2=

Multiplicamos 2X6=12; luego dividimos 8/2=4; lo que nos permite finalmente sumar los dos resultados obtenidos así: 12+4=16.

b)4X5X3—18/3=
Multiplicamos 4X5X3=60; luego dividimos 18/3=6; lo que nos permite finalmente restar los resultados anteriores así: 60—6=54.

4.- Si la expresión contiene paréntesis, primero se realizan los cálculos contenidos en él, comenzando siempre por el paréntesis más interno. Ej. :

a)  (8+9+3) / 5=
Aplicando la regla tenemos:

1º.- Sumamos 8+9+3=20; luego este resultado lo dividimos entre 5; lo que nos permite llegar al siguiente resultado final: 20/5=4.

b) (3+5—2) X (8/4)—1=
Aplicamos la regla:

1º.- Realizamos la operación del paréntesis así: 3+5—2=6; dividimos 8/4=2; a este último resultado le restamos 1, para obtener finalmente: 6X1=1.-

c) 8+6X (3/3) — (25/5)

Aplicando la regla tenemos:
=8+6X (1)—5
= (14X1)—5
=14—5
=9

d) ((9X5) / (15/3) + (12—8)) X6

Aplicamos la regla.
= ((45 / 5)+ (4)) X6
= (9+4) X6
=13X6
= 78

e) (12/3)+ (8X5) — (18 / 6)
=4 + 40 — 3
=44—3
=41
f) (26X2) / (36 / 9) — (8—4) + (3x4)
= (52) / (4) — 4 + 12
=13 — 4 + 12
=9 + 12
=21.-

OTRO EJEMPLO:
(12+4X3+18/3) / 6
= (12+12+6) / 6
=30 / 6
=5

miércoles, 3 de noviembre de 2010

Razones y proporciones


Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña
Prof. y Abg.
Saludo a los matemáticos que visiten esta página; advierto este tema lo he preparado con fines didácticos para estudiantes que inician sus estudios de esta área de los números;  se adecua al área básica o elemental; por tanto, si su nivel académico está por encima del contenido, le sugiero nos ayude con cualquier comentario o información.
RAZÓN:
Llamada también RELACIÓN.
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras. Hallando en cuanto excede una a la otra, es decir, RESTÁNDOLAS, o hallando cuántas veces contiene una la otra; es decir, DIVIDIÉNDOLAS.
Lo anterior lleva a decir que existen dos clases de razones:
1.- RAZÓN ARITMÉTICA o por diferencia.
2.- RAZÓN GEOMÉTRICA o por cociente.
RAZÓN ARITMÉTICA
Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Se pueden escribir de dos modos: Separándolas con el signo menos (—) o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6.4 y en ambos casos se lee: seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. En la razón 6 – 4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Propiedades de las razones aritméticas:

1.- Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
2.- Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
3.- Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número; la razón no varía.

RAZÓN GEOMÉTRICA

La razón geométrica de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos:
a) En forma de fracción. ¡
b) Separados por el signo entre. ÷
Así, la razón geométrica de 10 a 2 se escribe:
10 /2 ó 10 ÷ 2; y en ambos casos se lee: diez es a dos.

TÉRMINOS DE LA RAZÓN GEOMÉTRICA

Se llama antecedente el primero y consecuente el segundo. Así en la razón 15 ÷ 3; el antecedente es 15 y el consecuente es 3.

Propiedades de las razones geométricas o por cociente:
1.- Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2.- Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
3.- Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.
Hallando la razón aritmética y geométrica.

Razón aritmética de:

a) 60 y 12. R. 60 – 12 = 48
b) 16 y 4. R. 16 – 4 = 12
c) 36 y 12. R. 36 – 12 = 24
d) 28 y 4. R. 28 – 4 = 24
e) 45 y 15. R. 45 – 15 = 30

Razón geométrica de:

a) 60 y 12. R. 60 / 12 = 5
b) 16 y 4. R. 16 / 4 = 4
c) 36 y 12. R. 36 / 12 = 3
d) 28 y 4. R. 28 / 4 = 7
e) 45 y 15. R. 45 / 15 = 3

PROPORCIONES ARITMÉTICAS

EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA: es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.
Una equidiferencia se escribe de dos modos:
a) a – b = c – d
b) a. b:: c. d
En ambos casos se lee: a es a b como c es a d

TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA.

Los términos de una equidiferencia se llaman EXTREMOS el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También se llaman antecedentes al primero y tercero y consecuentes al segundo y cuarto.
Así en la equidiferencia: 30 – 10 = 25 – 5; los extremos son: 30 y 5; los medios son: 10 y 25.
Clases de equidiferencias:
a) Discreta: es aquella cuyos medios no son iguales. Ej. 20 – 5 = 18 – 3
b) Continua: es la que tiene medios iguales. Ej. 11 – 7 = 7 – 3  
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIAS:
En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Demostrar que a + b = c + d.
En efecto: sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada  a – b = c – d un extremo y un medio, b + d, tendremos: a – b + b + d = c – d + b + a; y simplificando, queda: a + d = c + b.
En la equidiferencia 8 – 6 = 9 – 7; tenemos: 8 + 7 = 6 + 9 o sea 15 = 15.

COROLARIOS
De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes corolarios:
1.- En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.
Sea la equidiferencia  a – b = c – d. Demostrar que a = b + c – d.
En efecto, ya sabemos por la propiedad fundamental, que a + d = b + c.
Restando “d” a ambos miembros, tendremos: a + d – d = b + c – d y simplificando queda: a = b + c – d.
En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.
En 8 – 3 = 7 – 2 tenemos que 8 = 3 + 7 – 2
En 15 – 5 = 20 – 10 tenemos que 15 = 5 + 20 – 10
2.- En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Demostrar que b = a + d – c. En efecto: sabemos que a + d = b + c y simplificando: b = a + d – c.
En 18 – 7 = 15 – 4 tenemos que 7 = 18 + 4 – 15
En 8 – 3 = 7 – 2 tenemos que 3 = 8 + 2 – 7

MEDIA DIFERENCIAL O MEDIA ARITMÉTICA es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así en la equidiferencia 8 – 6 = 6 – 4, la media diferencia es 6.
TEOREMA
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
Sea la equidiferencia a – b = b – c. Demostrar que b = a + c / 2
En efecto: por la propiedad fundamental sabemos que a + c = b + b o sea
a + c = 2b.
Dividendo ambos miembros por 2, queda: a + c / 2 = 2b/2 o sea a + c / 2 = b.
En 5 – 4 = 4 – 3 tenemos 4 = 5 + 3 / 2.

HALLANDO TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS.

a) 18 – 6 = 14 – X
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 6 + 14 – 18 = 2
b) X – 7 = 15 – 2
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 7 + 15 – 2 = 20
c) 18 – 3 = 15 – X
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 3 + 15 – 18 = 0
d) 25 – X = 18 – 2
Como el término desconocido es un medio y éste es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
X = 25 + 2 – 18 = 9
e) 32 – 10 = X – 12
Como el término desconocido es un medio y éste es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
X = 32 + 12 – 10 = 34
d) 15 – X = 14 – 5
Como el término desconocido es un medio y éste es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
X = 15 + 5 – 14 = 6
HALLANDO EL TÉRMINO DIFERENCIAL.
1.- Hallar la media diferencial entre 26 y 14.
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
Es necesario formar una equidiferencia continua, cuyo medio diferencial sea X y los extremos los números dados; luego despejar X; así:

X = 26 + 14 / 2 = 20.

Sustituyendo, tenemos: 26 – 20 = 20 – 14.

2.- Hallar la media diferencial entre 10 y 6.

X = 10 + 6 / 2 = 8.

Sustituyendo, tenemos: 10 – 8 = 8 – 6.

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
 Proporción geométrica o equicociente es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.
Una proporción geométrica se escribe de los modos siguientes:

a / b = c / d ó a:b::c:d

En ambos casos se lee: a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.

Los términos de una proporción geométrica se llaman: EXTREMOS el primero y el cuarto, y MEDIOS el segundo y el tercero.  Además al primero y tercero se le llaman ANTECEDENTES y al segundo y cuarto CONSECUENTES.
Así en la proporción: 12 / 2 = 24 / 4; los extremos son: 12 y 4; y los medios son: 2 y 24.
Los antecedentes son 12 y 24, los consecuentes son 2 y 4.

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS.

Hay dos clases de proporciones geométricas:
a) Discreta: es aquella cuyos medios no son iguales. 10 / 5 = 12 / 6
b) Continua: es aquella cuyos medios son iguales. 20 / 10 = 10 / 5

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS. TEOREMA.
En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Sea la proporción a / b = c / d. Demostrar que a x d = b x c.
Multiplicando ambos miembros de la igualdad a / b = c / d por el producto de un medio y un extremo, b x d, para lo cual basta multiplicar los numeradores, tendremos: a x b x d / b = c x b x d / d y simplificando queda: a x d = b x c.
En la proporción 6 / 4 = 3 / 2 tenemos que 6 x 2 = 3 x 4; es decir, 12.

COROLARIOS

1.- En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.
Sea la proporción a / b = c / d, demostrar que a = b x c / d.  
La propiedad fundamental dice que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por “d” tendremos a x d / d = b x c / d y simplificando queda: a = b x c / d.
En 9 / 12 = 3 / 4 tenemos que 9 = 12 x 3 / 4.

2.- En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido.
Sea la proporción a / b = c / d, demostrar que b = a x d / c.  
La propiedad fundamental dice que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por “c” tendremos a x d / c = b x c / c y simplificando queda: b = a x d / c.
En 5/10 = 2/4 tenemos que 2 = 5 x 4/10
MEDIA PROPORCIONAL O MEDIA GEOMÉTRICA es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, o sea, cada uno de los términos medios de una proporción geométrica, cuando son iguales. Así, en la proporción:
8 / 4 = 4 /2 la media proporcional es 4.

TEOREMA
La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Hallar los términos desconocidos en proporciones geométricas.
a)Hallar el término desconocido en 12 : 10 : : 6 : X
Como el término desconocido es un extremo y éste es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tenemos:
X = 10 x 6 / 12 = 5
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda: 12 : 10 : : 6 : 5
b)Hallar el término desconocido en 15 : X : : 10 : 2
Como el término desconocido es un medio y éste es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido, tenemos:
X = 15 x 2 / 10 = 3
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda. 15 : 3 : : 10 : 2 
c)Hallar el término desconocido 16 : X : : X : 25
El término desconocido es la media proporcional y ésta es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos tenemos:
X = a la raíz cuadrada de 16 x 25 o sea de 400, y raíz cuadrada de 400 es 20.
Sustituyendo queda: 16 : 20 : : 20 : 25