Preparado y adaptado por:
Lic. Jaime Noé Villalta Umaña
Este sistema numérico (base diez) es utilizado actualmente por convenio en todos los países del mundo; sin embargo, Estados Unidos de Norte América, Francia y Alemania, tienen un criterio distinto en la forma de llamar al millar de millones, billón, millar de billones, en fin. Para efectos de información en esos países se les llama así, en orden respectivo: billón, trillón, cuatrillón.
Formado por órdenes y subórdenes. En este sistema las cantidades aumentan y disminuyen de 10 en 10; es decir, que 10 unidades de un orden cualquiera, forman una unidad de orden inmediato superior. Así, por ejemplo, 10 unidades simples forman una decena; 10 decenas, una centena; 10 centenas, una unidad de millar; 10 unidades de millar, una decena de millar; 10 decenas de millar, una centena de millar; 10 centenas de millar, un millón; y así sucesivamente.
Las subórdenes se obtienen de manera parecida. La unidad de primer orden se divide en diez, formando las décimas (primera suborden), seguimos dividiendo de igual manera y vamos obteniendo centésimas (segundo suborden); milésimas (tercer suborden); diezmilésimas (cuarto suborden) y así sucesivamente.
El siguiente esquema presenta la información necesaria para comprender el sistema de numeración decimal que está dividido en órdenes, clases y períodos.
Formado por órdenes y subórdenes. En este sistema las cantidades aumentan y disminuyen de 10 en 10; es decir, que 10 unidades de un orden cualquiera, forman una unidad de orden inmediato superior. Así, por ejemplo, 10 unidades simples forman una decena; 10 decenas, una centena; 10 centenas, una unidad de millar; 10 unidades de millar, una decena de millar; 10 decenas de millar, una centena de millar; 10 centenas de millar, un millón; y así sucesivamente.
Las subórdenes se obtienen de manera parecida. La unidad de primer orden se divide en diez, formando las décimas (primera suborden), seguimos dividiendo de igual manera y vamos obteniendo centésimas (segundo suborden); milésimas (tercer suborden); diezmilésimas (cuarto suborden) y así sucesivamente.
El siguiente esquema presenta la información necesaria para comprender el sistema de numeración decimal que está dividido en órdenes, clases y períodos.
NOTACIÓN EXPANDIDA
100 = 1
101 = 10
102 = 10 X 1 0 =100
103 = 10 X 10 X 10 = 1,000
104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10,000
105 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 100,000
= 8 X 105 + 4 X 104 + 5 X 103 + 6 X 102 + 3 X 101 + 7 X 100
= 8 X 100,000 + 4 X 10,000 + 5 X 1,000 + 6 X 100 + 3 X 10 + 7 X 1
= 800,000 + 40,000 + 5,000 + 600 + 30 + 7
= 845,637
De la tabla anterior se pueden hacer las siguientes observaciones:
1°.- Un período comprende 2 clases. El Período de las Unidades comprende:
a) La clase de las unidades.
b) La clase de los millares.
2°.- Cada clase está formada por 3 órdenes consecutivos. Así, la clase de las unidades se forma con el 1°, 2° y 3° orden. La clase de los millares se forma con el 4°, 5° y 6° orden.
3°.- Al leer una cantidad de 4 cifras o más se colocará una coma (punto) para separar las unidades de los millares. Esta coma (punto) se debe leer mil. En el ejemplo la cantidad formada se lee: ochocientos cuarenta y cinco mil seiscientos treinta y siete.
En lo que se refiere a la notación expandida; es decir para descomponer un número en centenas de millar, decenas de millar, unidades de millar, centenas, decenas y unidades es necesario señalar los siguientes conocimientos básicos que debe tener:
1°.- Potencia: producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número (letra o expresión algebraica) por sí mismo.
En la potencia an, a es la base y n el exponente.
Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define: an = a ·…· a (n factores)
Expresado en números:
En la potencia 83, 8 es la base y 3 el exponente.
2°.- El exponente indica las veces que la base se repite como factor; es decir las veces que dicha base se multiplica por sí misma. Ejemplos:
a) 72 = 7 X 7
b) 54 = 5 X 5 X 5 X 5
Con los conocimientos anteriores emprendamos el maravilloso camino del aprendizaje de los números.
Información adicional:
El sistema de numeración decimal es de origen "indo – arábigo", el cual tiene las siguientes propiedades:
1.- Su base es el 10. (Agrupa de 10 en 10)
2.- Emplea 10 cifras. (0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9)
3.- Es posicional. (Según el lugar que ocupa cada cifra tiene un valor relativo: unidades, decenas, centenas, etc.)
4.- Es multiplicativo. (Según el lugar, cada cifra esta multiplicada por una potencia de 10: 100, 101, 102, etc.)
5.- Es aditivo. (Cada número es la suma de los valores relativos de sus cifras)
VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO
Toda cifra tiene dos valores encada cantidad:
a) Valor absoluto
b) Valor relativo
El valor absoluto es lo que cada cifra representa sin importar el lugar o posición que ocupa en la cantidad.
Sea el número 8,397. Los valores absolutos son:
El valor absoluto de 8 es 8.
El valor absoluto de 3 es 3.
El valor absoluto de 9 es 9.
El valor absoluto de 7 es 7.
El valor relativo o posicional es el que posee cada cifra de acuerdo al lugar o posición que ocupa en la cantidad. Se le llama también valor de lugar.
Tomando como ejemplo la cantidad anterior:
El valor relativo, posicional o de lugar de cada una de las cifras es:
El valor relativo de 8 es: 8,000
El valor relativo de 3 es: 300
El valor relativo de 9 es: 90
El valor relativo de 7 es: 7
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales constituyen una serie infinita cuyo primer elemento es el 1 y su último elemento no se puede determinar, pues siempre podemos colocar un número más después del final de la serie numérica.
El símbolo para representar los números naturales es la letra “N”. Así:
N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...}. Los tres puntos colocados después del último elemento indican que los elementos continúan infinitamente; por esta razón se dice NO HAY un último elemento en la serie de los números naturales.
Los números naturales son los que sirven para contar; pues siempre iniciamos el proceso de contar con el número 1, hasta llegar al total de objetos a contar.
SUCESOR Y ANTECESOR
Se le llama sucesor de un número natural a aquel número que sigue inmediatamente después de él. Ejemplos:
El sucesor de 100 es 101 — El sucesor de 5 es 6.
Se le llama antecesor de un número natural a aquel número que está ubicado inmediatamente antes de él. Ejemplos:
El antecesor de 8 es 7.
El antecesor de 890 es 879.
El antecesor de 500 es 499.
Números cardinales:
Son aquellos que representan el total de elementos distintos que tiene un conjunto dado.
N0 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, ...}
Números ordinales:
Es todo número que denota un lugar u orden.
1° primero
2° segundo
3° tercero
4° cuarto
5° quinto
6° sexto
7° séptimo
8° octavo
9° noveno
10° décimo
20° vigésimo
30° trigésimo
40° cuadragésimo
50° quincuagésimo
60° sexagésimo
70° septuagésimo
80° octogésimo
90° nonagésimo
100° centésimo
200° ducentésimo
300° tricentésimo
400° cuadringentésimo
500° quingentésimo
600° sexcentésimo
700° septingentésimo
800° octingentésimo
900° noningentésimo
NÚMEROS ROMANOS
Es el sistema de representación de los números empleados por los romanos. La numeración romana no utiliza el principio del valor relativo, pues el valor de los símbolos siempre es el mismo, sin que influya el lugar que ocupan.
Sistema de numeración que emplea los siguientes símbolos:
Además del empleo de los símbolos anteriores es necesario destacar lo siguiente:
a) Una rayita colocada encima de una letra indica tantos miles como unidades tenga ese símbolo.
b) Dos rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos millones como unidades tenga ese símbolo.
c) Tres rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos miles de millones como unidades tenga ese símbolo.
d) Cuatro rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos billones como unidades tenga ese símbolo.
e) Cinco rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos miles de billones como unidades tenga ese símbolo.
f) Seis rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos trillones como unidades tenga ese símbolo.
PRINCIPIOS:
1°.- Aditivo: Un número es la suma de los valores que cada símbolo representa. Ejemplo:
CCXXXV = 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 5 = 235
MMDCLXVII = 1000 + 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 2,667
XXVI = 10 + 10 + 5 + 1 = 26
DCCLXXXVIII = 500 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 788
2°.- Sustractivo: Un símbolo que antecede a otro de mayor valor, implica que se resta la mayor. Ejemplos:
IV = 5 — 1 = 4
IX = 10 — 1 = 9
XL = 50 — 10 = 40
XC = 100 — 10 = 90
CD = 500 — 100 = 400
CM = 1000 — 100 = 900
REGLAS PARA LA REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS.
1°. Si a la derecha de una cifra colocamos otra igual o menor, el valor de la primera queda aumentado con el de la segunda.
CL = 150
XV = 15
LV = 55
MV = 1,005
2°.- Si a la izquierda de una cifra colocamos otra menor, el valor de ésta se resta de la anterior.
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900
3°.- Nunca se puede emplear más de tres símbolos iguales seguidos a la derecha de otra cifra mayor, ni aislados; ni más de uno a la izquierda de otra mayor.
Escribir en números arábigos:
a) XXVI =
b) CCLI =